介绍
我们经常从天气预报中听到：明天的降水率是80％。这意味着什么？我们很难直白地解释这种说法，尤其是从概率学派的角度：无限次（或非多次）地重复下雨/不下雨实验是不现实的。
贝叶斯方法可以解释这种说法。以下句子摘自《为黑客设计的概率规划与贝叶斯方法》一书，它完美地总结了贝叶斯学派的关键思想之一。
贝叶斯世界观将概率解释为事件可信度的量度，即我们对事件发生有多少信心。
这意味着在贝叶斯方法中，我们永远不能绝对确定自己的“信念”，但可以肯定表达我们对于相关事件发生有多少信心。此外随着收集到更多数据，我们可以对自己的信念更加信心。
作为一名科学家，我被训练着去相信数据，并且对所有事物都很谨慎。所以我认为贝叶斯推理是相当直观的。
但是使用贝叶斯推断在计算和概念上通常具有挑战性。完成工作经常需要大量耗时而复杂的数学计算。即使作为数学家，我有时也觉得这些计算很乏味；特别是要快速了解待解决的问题时。
幸运的是我的导师AustinRochford最近向我介绍了一个名为PyMC3的程序包，它使我们能够进行数值贝叶斯推理。本文将通过一个具体示例快速介绍PyMC3。
一个具体的例子
假设我们有一枚硬币，我们将其翻转三遍，结果是：
[0，1，1]
其中0表示硬币背面向上，1表示人头向上。我们有信心说这是一个公平的硬币吗？换句话说，如果让θ为人头向上的概率，那么证据是否足以支持θ= 0.5的说法？
由于除了上述实验的结果外，我们对硬币一无所知，因此很难确定地说什么。从概率学派的角度来看，θ的点估计为：
尽管这个数字是合理的，但是概率学派的方法并不能真正为它提供一定的信心置信。特别是如果我们进行更多试验，则可能会得到不同的θ点估计。
这是贝叶斯方法可以提供一些改进的地方。这个想法很简单，因为我们对θ一无所知，因此可以假设θ可以是[0,1]上的任何值。在数学上，我们的先验信念是θ遵循均匀分布Uniform（0,1）分布。悄悄提醒需要复习数学的同学，Uniform（0,1）的pdf如下：
然后我们可以使用证据/观察来更新我们关于θ分布的信念。
让我们正式将D称为证据（我们的例子中是抛硬币的结果。）根据贝叶斯规则，后验分布可通过以下公式计算：
其中p（D |θ）是似然函数，p（θ）是先验分布（在这种情况下，为Uniform（0,1））从这里开始有两种方法。
显式方法
在这个特定示例中，我们可以手动完成所有操作。更准确地说，给定θ三个抛硬币中有2个人头向上的概率为：
通过假设，p（θ）＝ 1。接下来，我们计算分母：
通过一些简单计算，我们可以看到上述积分等于1/4，因此：
注意：通过相同的计算，我们还可以看到，如果θ的先验分布是参数为α，β的Beta分布，即p（θ）= B（α，β），并且样本大小为N，k它们是人头向上的次数，则θ的后验分布由B（α+ k，β+ N-K）给出。在我们的案例下，α=β= 1，N = 3，k = 2。
量化方法
在显式方法中，我们能够使用共轭先验来显式计算θ的后验分布。但有时使用共轭先验来简化计算，它们可能无法反映现实。此外找到共轭先验并不总是可行的。
我们可以通过使用马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法来近似后验分布来克服此问题。这里的数学计算很多，但是出于本文目的，我们不会深入探讨。我们将侧重解释如何使用PyMC3实现此方法。
运行代码前，我们导入以下软件包。
import pymc3 as pm
import scipy.stats as stats
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
%matplotlib inline
from IPython.core.pylabtools import figsize
首先我们需要初始化θ的先验分布。在PyMC3中，可以通过以下代码来实现。
with pm.Model() as model:
theta=pm.Uniform('theta',lower=0, upper=1)
然后我们将模型与观测数据拟合。这可以通过以下代码完成。
occurrences=np.array([1,1,0]) #our observation
with model:
obs=pm.Bernoulli("obs", p,observed=occurrences) #input the observations
step=pm.Metropolis()
trace=pm.sample(18000, step=step)
burned_trace=trace[1000:]
在内部计算逻辑上，PyMC3使用Metropolis-Hastings算法来近似后验分布。Trace功能确定从后验分布中抽取的样本数。最后由于该算法在开始时可能不稳定，因此在经过一定的迭代周期后，提取的样本更有用。这就是我们代码最后一行的目的。
然后，我们可以绘制从后验分布获得的样本的直方图，并将其与真实密度函数进行比较。
from IPython.core.pylabtools import figsize
p_true=0.5
figsize(12.5, 4)
plt.title(r"Posterior distribution of$\theta$")
plt.vlines(p_true,0, 2, linestyle='--',label=r"true $\theta$ (unknown)", color='red')
plt.hist(burned_trace["theta"],bins=25, histtype='stepfilled', density=True, color='#348ABD')
x=np.arange(0,1.04,0.04)
plt.plot(x, 12*x*x*(1-x), color='black')
plt.legend()
plt.show()
我们可以清楚地看到，数值逼近非常接近真实的后验分布。
如果我们增加样本容量?
如前所述，获得的数据越多，我们对θ的真实值的信心就越大。让我们通过一个简单的模拟来检验我们的假设。
我们将随机抛硬币1000次，使用PyMC3估算θ的后验分布。然后绘制从该分布获得样本的直方图。所有这些步骤都可以通过以下代码来完成：
N=1000 #the number of samples
occurences=np.random.binomial(1, p=0.5, size=N)
k=occurences.sum() #the number of head
#fit the observed data
with pm.Model() as model1:
theta=pm.Uniform('theta', lower=0,upper=1)
with model1:
obs=pm.Bernoulli("obs",theta, observed=occurrences)
step=pm.Metropolis()
trace=pm.sample(18000, step=step)
burned_trace1=trace[1000:]
#plot the posterior distribution of theta.
p_true=0.5
figsize(12.5, 4)
plt.title(r"Posterior distribution of $\theta for sample sizeN=1000$")
plt.vlines(p_true,0, 25, linestyle='--', label="true $\theta$(unknown)", color='red')
plt.hist(burned_trace1["theta"], bins=25, histtype='stepfilled',density=True, color='#348ABD')
plt.legend()
plt.show()
下图为我们得到的结果：
如图所示，后验分布现在以θ的真实值为中心。
我们可以通过取样本均值来估算θ。
burned_trace1['theta'].mean()
0.4997847718651745
这确实接近真实答案。
结论
PyMC3可以很好地执行统计推断任务，它使概率编程变得相当轻松。
参考资料：
[1] https://github.com/CamDavidsonPilon/Probabilistic-Programming-and-Bayesian-Methods-for-Hackers
原文标题：
Introduction to PyMC3: A Python package forprobabilistic programming
原文链接：
https://towardsdatascience.com/introduction-to-pymc3-a-python-package-for-probabilistic-programming-5299278b428
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