因果推断入门：为什么需要因果推断？（3）

数据派THU | 2022-09-18 11:57:19 阅读：976

3、图中的因果流和关联流
3.1 什么是图？

我猜看这系列文章的朋友对图 Graph 的概念已经再熟悉不过了，这里就不费口舌细说了。图是由节点 node 和边 edge 组成的一个数据结构，下面放几张普通类型图的示例：

3.2 贝叶斯网络

因果图模型的许多工作是在概率图模型的基础上完成的。要了解因果图首先要了解一下什么是概率图模型，虽然两者有着很大差别。贝叶斯网络是最主要的概率图形模型，因果图模型（因果贝叶斯网络）继承了它们的大部分属性。
联合概率分布可以通过 chain rule 写成如下形式：

如果直接对上面公式建模的话，参数数量会爆炸。

如果只依赖依赖的话，没必要condition on所有的变量，即可以写成。我们可以用 graph 表示变量之间的依赖关系，这个 graph 就叫做贝叶斯网络。一般而言，贝叶斯网络的有向无环图 DAG 中的节点表示随机变量，它们可以是可观察到的变量，抑或是隐变量、未知参数等。
给定 DAG，怎么计算所有变量的联合概率分布呢，需要用到下面的假设，即X节点只和它的父节点有关，和其他节点无关：

这样，图 3.6 的联合概率分布就可以写成下面形式：

3.3 因果图
上一节是关于统计模型和关联建模的。在本节中，我们将用因果假设来增强这些模型，把它们变成因果模型，使我们能够研究因果关系。为了引入因果假设，我们必须首先理解 “什么是原因 cause”。

根据上面的定义，如果变量 Y 能随着 X 的变化而变化，则称 X 是 Y 的原因。然后给出贯穿全书的（严格）因果假设 3.3，在有向图中，每个节点都是其子节点的直接原因。X 是 Y 的父节点，X 就是 Y 的直接原因，X 的原因（X 的父节点）也是Y的原因，但是是间接原因。

如果我们把 Y 的所有直接原因 ﬁx，那么改变 Y 的任何其他原因都不会引起 Y 的任何变化。因为 cause 的定义（Deﬁnition 3.2）意味着 cause 和它的 eﬀect 是相关的，而且因为我们假设所有的父节点都是他们子节点的原因，所以因果图中父节点和子节点是相关的。
非严格因果关系假设将允许一些父节点不是其子节点的原因，但不常见。除非另有说明，在本书中，我们将用“因果图”来指满足严格因果边假设的 DAG，省略“严格”一词。
总结一下，DAG 有向无环图是 graph 的一种特殊形式，贝叶斯网络和因果图都是用 DAG 表示的，但是两者的含义不一样，贝叶斯网络表达的是变量之间的依赖关系，而因果图表达的是变量之间的因果关系。由于表示因果关系的边也暗含着两个变量之间有关联，因此，DAG 里既有因果关系也有关联关系，这也对应本章的题目。

3.4 最简单的结构

现在我们已经了解了基本的假设和定义，我们可以进入本章的核心：DAG 中的关联和因果关系。首先我从构成 DAG 的基本结构入手。这些最小的构建块包括 chain 链（图 3.9a）、fork 叉子（图 3.9b）、immoralities 对撞（图 3.9c）、两个未连接的节点（图 3.10）和两个连接的节点（图 3.11）。其示意图分别如下所示

在一个由两个未连边的节点组成的 graph 中（图3.10），和肯定是独立的 independent、无关联的 unassociated。
相反，如果两个节点之间有边（图3.11），那么一定是 associated 的。这里用到的是 Assumption 3.3：由于 x1 是 x2 的原因，x2 必须能够对 x1 的变化做出反应，所以 x2 和 x1是关联的。一般来说，如果两个节点在因果图中是相邻的，它们都是相关的。

3.5 链 & 叉子结构

把链 chain 和叉子 fork 放在一节介绍是因为它俩的特性是一样。

相关性：
在 chain 中，x1 是 x2 的原因，x2 是 x3 的原因，那么 x1 和 x2 是相关的，x2，x3 是相关的，x1 和 x3 也是相关的。
在 fork 中，x2 是 x1 和 x3 的共因，x1 和 x3 也是相关的。这个可能有点反直觉，x1，x3 之间明明没有边，为啥也是有关联的呢？举个例子：温度升高会导致冰淇淋销量上升，同时也会使犯罪率上升，从冰淇淋销量和犯罪率的数据上来看，他们有着相同的趋势，因此是相关的，尽管他们之间并没有因果关系。
关联流 associate flow 是对称的，x1 和 x3 相关，x3 也和 x1 相关，即图中红色虚线部分。而因果流是非对称的，只能沿着有向边流动，即 x1 是 x3 的原因，x3 不是 x1 的原因。
独立性：
chain 和 fork 也有着相同的独立性。如果我们把 x2 固定住，即 condition on x2，那么 x1 和 x3 的相关性就会被阻断 block，变的独立。

在 chain中，如果把 x2 固定成一个定值，x1 做任何改变，都不会影响 x2 的变换，因为已经被固定了，那么 x3 也不会发生变化，因此 x1，x3 变的独立。
Proof：
chain 的联合概率分布如下：

然后，condition on x2, 利用 Bayes rule 得到：

再次利用 Bayes rule ，得到：

由此得出结论。

3.6 对撞结构
对撞结构是指 x1，x3 都是 x2 的原因，x2 又叫做 collider。这种情况下时，x1 和 x3 都影响 x2，但是信息没有从 x2 流向 x1 或者 x3，因此 x1 和 x3 是相互独立的。的 association flow 被 x2 block 掉了，图中红线只有一半。

proof：

如果固定 x2，即 condition on x2，此时 x1，x3 从独立变的相关了。举个不恰当的例子，x1 是财富，x2 是长相，x3 是追女孩，长得帅有钱才能追到女孩。如果某个人没有追到女孩，而我们观察到他帅，那他肯定没钱，如果他有钱，那他一定长得不行。
如果 condition on collider 节点的后代节点，x1，x3 也是相关的。可以把 x2 的后代节点想象成 x2 的代理节点。condition on 代理节点和 condition on x2 的效果是一样的。

3.7 d-分离

首先引入 blocked path 的概念，给定条件集合 Z，Z 里面的变量都是固定住值的，如果存在一条路径满足以下两种情况之一，这就是一条 blocked path：

这条路径存在 chain（）或者存在 fork（），且 condition on W（）
这条路径存在一个 collider W（），并且并且 W 的所有后代节点也不固定（）

同理，unblocked path 的定义与 block path 相反。blocked path 中不存在从 X 到 Y 的 association flow，被 block 掉了。unblocked path 中存在从 X 到 Y 的 association flow。
下面给出 d-分离的概念：

在给定集合 Z 的条件下，如果 X 和 Y 中的任意两个节点之间的路径都被 block，那么就说 X 和 Y被 Z d-分离。zhiyao 存在一条路径是 unblock 的，则说 X 和 Y 被 Z d-连通。如果 X 和 Y 被 Z d-分离，可以得到 X 和 Y 在给定 Z 时一定是独立的。表示 d 分离，表示独立。

小练习：

判断下面几种情况是否是 d-分离

1. Are T and Y d-separated by the empty set?

2. Are T and Y d-separated by W2?

3. Are T and Y d-separated by {W2 , M1 }?

Yes

4. Are T and Y d-separated by {W1 , M2 }?

Yes

5. Are T and Y d-separated by {W1 , M2 ,X2}?

3.8 因果流和关联流

最后，总结下图上的因果流和关联流。关联流沿着 unblock path 流动，因果流沿着有向边流动。我们将沿着有向边的关联流称作因果关联 causal association。总体的 association 包括 causal association 和 non-causal association。一个典型的非因果关联的例子是 confounding association。
常见的贝叶斯网络是纯粹的统计模型，所以我们只谈论贝叶斯网络中的关联流动。不过，关联在贝叶斯网络中的流动方式与在因果图中的流动方式完全相同，关联都是沿着链和叉子流动的，除非 condition on 中间节点，而 collider 会阻止关联的流动，除非 condition on collider。我们可以通过两个节点是否被 d-分离来判断它们是否有关联（两者之间有关联流）。
因果图的特殊之处在于，我们还假设边具有因果意义（因果边假设，假设 3.3）。这个假设将因果关系引入我们的模型，它使一种类型的路径具有全新的意义：有向路径。这个假设赋予了有向路径独特的作用，即沿着它们蕴含因果关系。此外，这个假设是不对称的；“X 是 Y 的原因”和“Y 是 X 的原因”是不一样的。这意味着关联和因果关系之间有一个重要的区别：关联是对称的，而因果关系是不对称的。

*博客内容为网友个人发布，仅代表博主个人观点，如有侵权请联系工作人员删除。